debreu

Natif de Calais, Gérard Debreu, prix Nobel d'économie, est peu connu dans sa région d'origine. Son éloignement (il a fait toute sa carrière universitaire aux Etats Unis) et la très grande abstraction qui préside à ses travaux scientifiques ont largement contribué à cette méconnaissance. La présentation synthétique que nous tentons ici vise à reconstituer, sous l'angle simplificateur de la logique déductive, le raisonnement de l'auteur.

Si l'économie politique commence quelquefois par des "robinsonnades" ou par une scène de la création du type "Adam et Eve", la théorie économique moderne commence par l'analyse des situations de survie. Ce cas, très universel, permet de mieux comprendre comment la personne économique internalise des contraintes dans ses choix afin de se procurer le minimum vital. Survivre, c'est trouver par une stratégie donnée le mininum vital. Tout dépend de la dotation initiale. Il se peut qu'aucune stratégie ne permette de s'en sortir.
Soit une marchandise, un lieu et deux dates dans la théorie de Debreu ( 1960) et revenons sur son hypothèse de non survivance en nous aidant de la figure V-1.

Figure V-1, une marchandise, un lieu, deux dates.

Considérons sur un système d'axe un input alimentaire qui ,au temps 1, doit permettre d'obtenir un même input alimentaire au temps 2. Ce même input au temps 2 peut être considéré comme une seconde marchandise. Une situation classique est celle où l'input de la première marchandise est inférieur ou égal au minimum [OO'] associé à un sous ensemble du quadrant fermé 1, O', 2'.
Cette association ne forme pas en général un ensemble convexe. Il faut alors introduire l'hypothèse que le consommateur peut se débarasser librement des deux marchandises à l'intérieur de l'ensemble 1,0,2 qui ,lui, est convexe. Dans ce cas, le consommateur consomme xi1 de la première marchandise et dispose ( par libre substitution) de xi2 de la seconde marchandise mais n'en consommera effectivement rien.
Par son "choix" dans l'ensemble de consommation Xi, le consommateur détermine sa durée de vie..... Cette hypothèse forte permet de rétablir l'hypothèse de convexité sans laquelle une bonne partie de la microéconomie (l'idée d'un taux marginal de substitution par ex.) aura des difficultés à fonder ses démonstrations. Le choix entre deux dates est un taux d'actualisation subjectif. Dès que l'on passe à 2 dates t1 et t2 avec t1 > t2, on peut définir un taux d'intérêt qui permette de comprendre la différence de valeur entre t1 et t2.
Ce taux d'actualisation prend en compte les caractéristiques de l' agent ( altruisme, bienveillance, aversion pour le risque, préférence pour le présent).

La "Théorie de la Valeur" de Gérard Debreu (1966) déduit de propriétés préétablies des ensembles de production et de consommation deux théorèmes fondamentaux :

-Le théorème d'existence d'un équilibre général par rapport à un système de prix au sein d'une économie de propriété privée.

-L'équivalence entre l'équilibre pour un système de prix et l'optimum dans le cadre d'une économie simplifiée.

Le cadre et le raisonnement correspondants sont inhabituels : faisant explicitement référence à l'axiomatique, dans quelle mesure font-ils appel à la logique déductive ? Cette question fait l'objet de cette présentation de la théorie de la valeur de Debreu.

Les applications de la logique déductive sont rares dans une science économique, plutôt disposée à la logique inductive. Deux théories très particulières peuvent être citées à ce titre:

- la théorie économique des choix collectifs (depuis Arrow, 1951) dont la formalisation est empruntée à la logique déductive ( Tarski).

- la théorie des prix de production (Sraffa, 1960), dont le rapport à la logique, en particulier à Wittgenstein, reste une énigme.

Elles témoignent, toutes les deux des difficultés à appliquer les deux conditions de la formalisation logique, l'homogénéité et l'atemporalité du raisonnement.

Ces conditions liées à la logique sont examinées ici à travers le cadre général de raisonnement de Debreu que l'on rappelle initialement. Ce cadre se compose de conditions économiques et systémiques que nous présenterons successivement:

- Les conditions économiques tiennent aux conventions de la théorie micro-économique à propos du comportement du producteur et du consommateur.

- Les conditions systémiques ont trait à l'appareil démonstratif utilisé. Les deux principaux théorèmes sont démontrés à l'aide de deux propriétés de la topologie : le théorème du point fixe de Brouwer-Kakutani et le théorème de séparation de Minkowski.

Enfin, sous ces conditions complexes, Debreu démontre l'existence d'un équilibre général de marché sous des hypothèses fortes dans le cadre d'une économie de propriété privée . Cela lui permet ensuite de déduire l'équivalence entre optimum et équilibre simplifié de marché.

Cette équivalence logique, parmi d'autres, incite à comparer le raisonnement de Debreu avec celui utilisé par Sraffa (1960). En effet, ces deux auteurs utilisent une méthode de raisonnement équivalente : démontrer sous des conditions fortes , un théorème d'existence, puis en faire un résultat intermédiaire permettant d'établir des équivalences logiques dans un cadre simplifié.

- " Analyse axiomatique de l'équilibre économique" et formalisation logique.

La démarche axiomatique est assimilée, de façon un peu vague, à un processus d'abstraction tel que "la théorie au sens strict est complètement disjointe de ses interprétations."(Debreu,1966, p.VIII). La démarche mathématique (topologique essentiellement) est confondue avec la logique d'exposition; en d'autres termes, le processus de démonstration mathématique des théorèmes d'existence tend à masquer la logique enchainant les principaux résultats.

La base logique la plus évidente du raisonnement se trouve dans le système des préfèrences du consommateur; à la limite, la théorie de Debreu pourrait apparaître comme une simple extension de la théorie des choix collectifs.
Selon Malinvaud (1982), dans cette présentation "moderne", "la notion d'utilité ou de satisfaction n'y est même pas nécessairement mentionnée".
La logique des préférences n'est qu'un point de départ dans la démonstration de Debreu. Celle-çi s'appuie sur les mathématiques ensemblistes,essentiellement la topologie. Fondée initialement sur la logique déductive de la quantification, la validité axiomatique du raisonnement de Debreu subit par la suite toute la faiblesse axiomatique (inconsistance, incomplétude, indécidabilité) de ce type de mathématique. Néanmoins, toutes les conditions de l'analyse déductive sont réunies dans cette présentation ; notamment les deux conditions d'homogénéité et d'atemporalité.

L'homogénéité réside dans le fait que les quelques concepts utilisés sont propres à l'analyse économique.Le cadre général du raisonnement ne nécessite que des agents(consommateurs et producteurs), des marchandises (inputs, outputs, ressources), des prix.
Pour caractériser les plans d'action des agents et leur condition d'équilibre, la théorie ne nécessite selon Debreu(ibid,p.32) que les "deux concepts généraux et abstraits de marchandise et de prix". Libre au lecteur d'introduire une hétérogénéité de l'espace, par exemple en voulant étudier le commerce international ou le change. Les interprétations particulières qui seront ainsi introduites n'ont, rappelle Debreu, aucun rapport avec le développement logique de la théorie.

Le cadre socio-économique n'est que peu spécifié. On recherche un équilibre de marché, mais ni le marché, ni le cadre d'une quelconque concurrence pure et parfaite ne donnent lieu à précision. On sait seulement que l'économie "se compose d'un certain nombre d'agents(ibid p.40),que les producteurs sont price-takers et que l'horizon est certain (sauf dans le dernier chapitre).
L'hypothèse d'une "économie de propriété privée" signifie que les consommateurs possèdent les ressources et contrôlent les producteurs ; de telle sorte que le producteur maximise le profit afin de le distribuer aux consommateurs actionnaires. En fait cette économie idéale ne correspond pas à la réalité du capitalisme, ni bien sûr à celle des économies socialistes. Elle constitue cependant l'utopie économique par excellence d'un capitalisme ou d'un socialisme parfait.

L'atemporalité du raisonnement se manifeste de plusieurs façons. Le temps historique ne joue absolument pas, l'utopie d'une économie multipropriétaire n'ayant pas d'application précise. Le temps chronologique n'intervient pas dans le cas général.
Si des changements de date interviennent, on pourra faire apparaitre des théories particulières telles que les théories de l'épargne, de l'investissement, du capital,et de l'intérêt. L'atemporalité se manifeste encore par l'idée que l'ensemble de production obéit à la loi des rendements constants (ibid p.45),dite hypothèse d'homogénéité ; l'ensemble de production étant un cône de sommet 0.

Enfin le temps analogique, essentiel au raisonnement marginaliste, est expulsé du raisonnement. En aucun cas, la démonstration ne fait intervenir le calcul différentiel. De ce fait, le processus de tâtonnement à la Walras n'intervient pas dans la théorie de l'équilibre général ; de même ne peuvent intervenir ni les phénomènes d'oscillation ou de réaction autour d'un équilibre, ni la comparaison entre des situations d'optimum.

Le prix est un pur nombre attaché à une marchandise. Il appartient à un système de prix qui sera déterminé par la détermination topologique de l'équilibre. Ainsi la monnaie n'intervient pas dans les échanges et l'hypothèse Walrasienne du numéraire (un bien déterminé servant de moyen d'échange) est abandonnée. On retrouve ici l'idée d'une théorie de la valeur fondée sur un pur nombre sans signification concrète.
A la différence du pur nombre à la Sraffa (1960), celui-çi résulte non seulement des contraintes de la production, mais aussi des contraintes de la consommation.

La démonstration de l'équilibre général a pour but de montrer que les plans d'action des consommateurs et des producteurs au sein d'une économie peuvent être conciliés avec les ressources disponibles pour des prix donnés sous certaines conditions.

Cet équilibre est démontré initialement sous des conditions "fortes" dans le cadre d'une économie de propriété privée (soit un E-équilibre). Dans cette situation, chaque producteur maximise son profit qu'il distribue aux consommateurs actionnaires. Ces derniers possèdent en effet les ressources et contrôlent les producteurs. Si ce cadre de propriété privé est abandonné,on aura sous des conditions plus faibles, un E-équilibre dans une économie simplifiée.

Les démonstrations de l'équilibre font intervenir deux types de conditions :

-Des conditions économiques : les concepts et les lois retenus répondent aux conventions de la théorie économique.

-Des conditions systémiques : qui permettent à ce schéma économique d'obéir aux propriétés mathématiques utilisées dans la démonstration.

-Les conditions systémiques tiennent à l'appareil démonstratif utilisé.

Les deux principaux théorèmes sont démontrés à l'aide de deux propriétés de la topologie : le théorème du point fixe de Brouwer-Kakutani et le théorème de séparation de Minkowski.

- Les équivalences logiques dans le système de Debreu.

Le processus de raisonnement de Debreu (1966) peut être décomposé en cinq propositions principales que nous symboliserons successivement par A,B,C,D,E.

Proposition A : Soient des ensembles de production et de consommation qui sont admissibles du point de vue de la théorie économique et intégrables dans le système de résolution de l'équilibre général. En d'autres termes,ces conditions économiques et systémiques déterminent un "système économique viable" .

Proposition B : Soient des états réalisables de l'économie E tels que s'il existe une consommation d'équilibre possible pour un consommateur et une production d'équilibre pour un producteur, un équilibre de marché soit possible (la demande nette doit égaler les ressources totales).

Proposition C : Il existe un équilibre général dans une économie de propriété privèe : soit un e équilibre. Plus précisément, il existe un e système de prix d'équilibre, p*, tel que l'excès de demande soit º 0 .

Proposition D : Soit pour tout équilibre général de marché un E- équilibre correspondant qui est un équilibre simple par rapport à un système de prix.

Proposition E : Soit un optimum d'une économie E tel qu'il soit un état réalisable auquel n'est préféré aucun autre état réalisable.

Le processus déductif de la théorie de la valeur peut alors être écrit comme suit :

(1) (A . B) implique C et (D est équivalent à E)

Du fait de l'équivalence entre D et E, il est possible d'écrire :

(2) (A . B) implique (E implique D)

En d'autres termes, il est possible de déduire de l'optimum un E équilibre avec des conditions beaucoup plus faibles que celles exigées pour l' équilibre initial.

La démonstration de l'existence d'un équilibre général de marché sous des hypothèses fortes dans le cadre d'une économie de propriété privée permet de déduire l'équivalence entre optimum et équilibre simplifié de marché. Une fois cette déduction admise, il est donc possible de déduire de n'importe quel optimum un équilibre simplifié de marché sans avoir à spécifier la distribution des ressources.

Le schéma déductif de Debreu(1966) incite à la comparaison avec celui établi par Sraffa(1960). Dans les deux cas,la démonstration principale a trait à un théorème d'existence.

Existence d'un équilibre général de marché dans une économie de propriété privée chez Debreu, la distribution des ressources étant spécifiée.

Existence d'un étalon des valeurs chez Sraffa dont on peut spécifier la composition.

Ce théorème d'existence joue un rôle intermédiaire. Il autorise à des équivalences qui permettent de s'en débarasser par la suite. Ainsi, il est possible dans la théorie de Debreu d'analyser directement l'optimum et l'équilibre de marché qui lui correspond en abandonnant les contraintes et les spécifications de l'économie de propriété privée. De même chez Sraffa, la spécification de l'étalon peut être abandonnée. Le salaire n'est plus qu'un pur nombre (de même que le prix à la Debreu) et l'on peut raisonner directement sur une quantité de travail. La déduction et ses propriétés (implication,équivalence) permettent ainsi de présupposer le réél (l'économie de propriété privée, la composition d'un étalon) afin de mieux établir le processus abstractif.

Une telle théorie n'est pas faite de prédictions vérifiables pouvant être réfutées à partir du monde réel, comme le souhaite Mark Blaug (1982), sinspirant de la méthode de Karl Popper. L'analyse du réel y est effectuée au moyen de quelques conventions largement acceptées de la théorie économique et n'a qu'une valeur intermédiaire.

De ce fait, Blaug pense que la maîtrise de l'Equilibre Général (Blaug, 1982, p. 220 ) est du "temps perdu" pour l'économiste empirique de même que l'étude de la théorie "peu réaliste" (Blaug, 1981, p.780) d'un Sraffa. Autant de motifs, peu raisonnables, de la méconnaissance de la théorie de Debreu, dans son propre milieu.

Notes :

-* Gérard Debreu est né à Calais en 1921.
Après des études à l'Ecole Normale Supérieure et l'agrégation de mathématiques, il arrive aux Etats Unis en 1948. Initialement chercheur à la Cowles Commission, il enseigne à Yales puis à Berkeley. Il a obtenu le prix Nobel d'économie en 1983.